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练习卷›微积分

微积分数学练习卷

21 个练习项,每项三个难度,每张练习卷都有答案。选择一项预览,或在一张练习卷中组合多项练习内容。

制作 微积分练习卷

极限

直接代入法求极限、用因式分解和有理化求 0/0 型极限、无穷远处的极限,以及根据图像判断单侧极限和连续性。

直接代入法求极限limx→4 −3x + 6x + 9在多项式函数和分式函数连续的点处,直接代入求极限。因式分解法求极限(0/0 型)limx→6 3x2 − 14x − 24x2 − 3x − 18直接代入得到 0/0 时,用因式分解约去公因式,或用有理化来求极限。无穷远处的极限limx→∞ −7x3 − 2x2 − 2x + 53x3 + x2 + x − 3比较分子和分母的次数,求分式函数在 x 无限增大时的极限。单侧极限与连续性limx→−3 f(x)xy−6−4−20246−6−4−20246从图像读出单侧极限、极限和函数值,并判断函数是连续的,还是有跳跃间断点或可去间断点。

导数

幂法则、积与商的法则、链式法则,三角函数、指数函数与对数函数的导数,以及切线方程。

幂法则求导f(x) = −3x7 + 3x2 + x + 2f′(x) = 用幂法则逐项求多项式的导数,包括负指数和分数指数。积与商的求导法则f(x) = (5x + 2)(2x2 − 9x + 8)f′(x) = 用积的法则 (fg)′ = f′g + fg′ 和商的法则 (f/g)′ = (f′g − fg′)/g² 求导。链式法则f(x) = (x2 − x + 8)6用链式法则求 (3x + 1)⁵、(x² − 4)³、√(2x + 5) 这样的复合函数的导数。三角函数、指数函数与对数函数的导数f(x) = −4ex − 6ln xf′(x) = 利用基本公式和链式法则,求正弦、余弦、eˣ 和 ln x 的导数,包括 e^(kx)、sin(kx) 这样的情况。切线方程f(x) = 2x3 − x2 − 7x − 4, x = 3用导数求曲线在某点处的斜率,再写出该点处的切线方程。

导数的应用

临界点与极值、单调区间、凹凸性与拐点、速度与加速度、最优化问题和相关变化率。

临界点、极值与单调区间f(x) = 2x3 + 9x2 − 60x + 7求 f 的极大值点和极小值点。求三次函数的临界点,判断它们是极大值点还是极小值点,并求函数的单调递增、递减区间。位置、速度与加速度s(t) = 2t3 − 8t2 − t求 t = 4 时的加速度。对位置函数求导得到速度和加速度,并求物体何时静止。最优化问题一个长方形的周长是 88 米,它的面积最大是多少?写出要求最大值的量的函数,利用约束条件化为一个变量,再用导数求最大值。相关变化率圆的半径以每秒 3 厘米的速度增加。当半径为 8 厘米时,面积增加得有多快?把公式两边对时间求导,求出正方形、圆和球增大时两个量的变化率之间的关系。凹凸性与拐点f(x) = −2x3 − 6x2 + 9x − 8求 f 的图像向上凹和向下凹的区间。求三次或四次函数的二阶导数、拐点,以及函数图像向上凹和向下凹的区间。

积分

原函数、定积分与平均值、换元积分法、曲线之间的面积和黎曼和。

不定积分(原函数)∫(5x3 − 9x2 − 5) dx用幂法则的逆运算求多项式和幂函数的原函数,并加上积分常数。定积分∫21 (3x2 − 2x − 5) dx用微积分基本定理计算多项式的定积分,并求函数在区间上的平均值。换元积分法∫2x(x2 − 8)5 dx把内层的式子设为 u 并调整 du,求一次式或二次式的幂的积分。曲线之间的面积y = x2 − 5x + 10, y = x + 2求出抛物线与直线的交点,再在两交点之间对上方函数减下方函数积分。黎曼和与梯形法则用中点黎曼和估计 f(x) = x2 + 3 在 x = 0 到 x = 4 之间曲线下方的面积,分成 4 段。用左端点、右端点、中点黎曼和以及梯形法则估计曲线下方的面积。

微分方程

初值问题以及指数增长与衰减模型。

微分方程:初值问题dydx = −6x2 + 6x + 4, y(0) = −1对 dy/dx = f(x) 形式的微分方程积分求解,再用初始条件求出常数。指数增长与衰减模型(dy/dt = ky)dydt = −0.15y, y(0) = 320y(8) ≈ 把 dy/dt = ky 的解写成 y = y₀e^(kt),用它预测数量,或由翻倍时间求 k。